Zlati rez je delež, ki že od antičnih časov velja za najbolj popolnega in harmoničnega. Je osnova številnih starodavnih struktur, od kipov do templjev, in je v naravi zelo pogosta. Hkrati se ta delež izraža v presenetljivo elegantnih matematičnih konstrukcijah.
Navodila
Korak 1
Zlati delež je opredeljen tako: gre za tako delitev segmenta na dva dela, da se manjši del nanaša na večjega na enak način, kot se večji del nanaša na celoten segment.
2. korak
Če je dolžina celotnega segmenta enaka 1, dolžina večjega dela pa x, potem bo iskani delež izražen z enačbo:
(1 - x) / x = x / 1.
Če pomnožimo obe strani deleža z x in prenesemo izraze, dobimo kvadratno enačbo:
x ^ 2 + x - 1 = 0.
3. korak
Enačba ima dve resnični korenini, od katerih nas seveda zanima le pozitivna. Enako je (√5 - 1) / 2, kar je približno enako 0, 618. To število izraža zlati rez. V matematiki ga najpogosteje označujemo s črko φ.
4. korak
Število φ ima številne izjemne matematične lastnosti. Na primer, tudi iz prvotne enačbe je razvidno, da je 1 / φ = φ + 1. Dejansko je 1 / (0, 618) = 1, 618.
5. korak
Drug način za izračun zlatega razmerja je uporaba neskončnega ulomka. Iz katerega koli poljubnega x lahko zaporedno sestavite ulomek:
x
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
itd.
6. korak
Da bi olajšali izračune, lahko ta ulomek predstavimo kot ponovitveni postopek, v katerem morate za izračun naslednjega koraka enega dodati rezultatu prejšnjega koraka in enega deliti s številom. Z drugimi besedami:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1).
Ta postopek se zbliža in njegova meja je φ + 1.
7. korak
Če izračun vzajemne zamenjamo z ekstrakcijo kvadratnega korena, to pomeni, izvedemo ponovitveno zanko:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), potem bo rezultat ostal nespremenjen: ne glede na prvotno izbrani x se ponovitve konvergirajo k vrednosti φ + 1.
8. korak
Geometrično lahko zlati rez izdelamo z običajnim petkotnikom. Če vanj narišemo dve diagonali, ki se sekata, bo vsaka druga drugo strogo razdelila v zlati rez. Ta ugotovitev po legendi pripada Pitagori, ki ga je najdeni vzorec tako šokiral, da je imel pravilno petokrako zvezdo (pentagram) za sveti božanski simbol.
9. korak
Razlogi, zakaj se zlati rez zdi človeku najbolj harmoničen, niso znani. Vendar pa so poskusi že večkrat potrdili, da osebe, ki jim je bilo naročeno, naj segment najlepše razdelijo na dva neenakomerna dela, to storijo v razmerjih, ki so zelo blizu zlatemu rezu.
